Читаю одну очень интересную книгу и узнала в ней о фракталах. Потому захотелось немного больше почитать о них. И так, сздесь будет собирательная статья с кучей цитат и ссылок на источники о фракталах.
Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической (wikipedia).
Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Don Archer Digital Art
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.
Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" [1] (Шабаршин, Введение во фракталы).
Существует большое число математических объектов называемых фракталами: треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта, лоренцевы аттракторы. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и природные образования: горы, облака, турбулентные течения, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам. Впервые фрактальную природу нашего мира подметил математик Бенуа Мандельброт: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности." MB2 (Вселенная фракталов).
О применении фракталов:
Прежде всего фракталы - область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы.
Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во первых это фрактальное сжатие изображений, и во вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И конечно же фракталы применяются непосредственно в самой математике.
Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.
Компанией Iterated разработан новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (как в формате jpeg) сжатие без потерь....Компанией Iterated разработан новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.
Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении.
Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике. В теории множеств множество Кантора доказывает существование совершенных нигде не плотных множеств, в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница" является хорошим примером функции распределения сингулярной меры. В геометрической теории функций А.А. Шалагинов использовал естественную параметризацию кривой Коха, как пример свободно-квазисимметрического, но не билипшицева вложения прямой в полоскость, чем разрешил проблему о различии между этими классами функций.
Применение фракталов в механике и физике. Можно сказать, что там они используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличее на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях. Более детально об этом рассказывается в статье "Фракталы в механике" [2]: «Так, например, появилась теория фрактальных трещин [3], модель трения для фрактальных поверхностей [4] фрактальная механика древесно-полимерных композитов [5] и пр. Применение фракталов к материаловедению в какой-то степени освещено в монографии [6].
Разработана математическая теория перколяционных кластеров [7]. На основе этой теории создаются новые критерии прочности материалов, в том числе и композиционных [8]. Пожалуй, самое широкое распространение фрактальный подход нашёл в теории динамических систем. При детерминированном подходе, как правило, входные данные (в числе которых могут входить и начальные условия) полностью определяют решение. При этом для нелинейных систем существуют такие параметры, при которых возможны "пороговые" явления решения: ветвление, скачки, катастрофы и т.п. До достижения критических параметров траектории динамической системы могут притягиваться некоторым аттрактором (предельной точкой траектории). Но по достижении критического параметра картина резко меняется, и динамическая система начинает вести себя по-другому. Её траектории могут стремиться к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь ("странные аттракторы". Но, если параметры системы будут увеличиваться, эта последовательность начинает вести себя беспорядочно ("срывается к хаосу". Она, хоть и определена динамическим законом и детерминированным начальным значением, но, тем не менее, непредсказуема. Так, например, ведут себя траектории движения малой планеты вокруг двух светил с равной массой (задача трёх тел в небесной механике). Так ведёт себя и странный аттрактор, открытый американским метеорологом Э.Лоренцем 20. Им была исследована система трёх дифференциальных уравнений, описывающих конвекцию газа или жидкости, движущихся внутри тора и подогреваемых снизу этого тора.»
При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму (О применении фракталов).
ССЫЛКИ
КнигиReferences:________________________________________________
[1] Федер Е. Фракталы. Пер. с англ.-М.: Мир,1991.-254с. / (Jens Feder, Plenum Press, NewYork, 1988);
[2] Победря Б.Е.(HomePage) О фракталах в механике, url: composite.msu.ru/win/s_work/1/fr.htm
[3] Бородич Ф.М. Энергия разрушения фрактальной трещины, распространяющейся в бетоне или горной породе, Докл. АН. 1992. Т.325. No.3. С.1138-1141.
[4] Бородич Ф.М., Онищенко Д.А. Фрактальная шероховатость в задачах контакта и трения (простейшие модели), Трение и износ. 1993. Т. 14. No.3. С. 452-459.
[5] Кулак М.И. Структурные аспекты фрактальной механики древесно-полимерных композитов, Изв. АН БССР. Сер. физ.-техн. наук. 1991. No.2. С.18-22.
[6] Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении., М.: Наука, 1994. 384 с.
[7] Меньшиков М.В., Молчанов С.А., Сидоренко А.Ф. Теория перколяции и некоторые приложения, Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1986. Т.24. С.53-110.
[8] Наймарк О.Б., Давыдова М.М. Топологический (фрактальный анализ кинетики накопления дефектов при оценке прочности углеродных композитов, Механика композитных материалов. 1994. Т.ЗО. N 1. С. 19-30.
Интересные ссылки
________________________________________________
Интересные ссылки:
Сундучков Артем, "Фракталы, синтез изображений", «Компьютеры+Программы»,6'96. Кратко излагаются основы IFS, L-систем, фрактального сжатия изображений и фрактального морфинга (приведен даже исходный текст программы).
Дмитрий Ватолин, "Фрактальное сжатие изображений" журнал «COMPUTERWORLD».
Победря Б.Е., "О фракталах в механике".
Г.Ю.Ризниченко, "Популяционная динамика", о фракталах в математической биологии.
Лямшев Л.М., "Фракталы в акустике", «к итогам 15 Межд. акустического конгресса».
Наталья Петрова, "Маленькие модели большого мира".
Данилов Ю.А., "Красота фракталов".
Владислав Тарасенко, "Метафизика фрактала", философский взгляд на фракталы.
д.ф-м.н. А.Дмитриев, "Хаос, фракталы и информация", статья в «Науке и жизни», N5, 2001.
Илья "Voyager", "Полет мысли - фракталы", о фракталах живых и разумных!
Фрактальные галереи________________________________________________
Фрактальные галереи:
The Mandelbrot and Julia sets Anatomy - пособие для изучения структуры и свойств множеств Жулиа и Мандельброта, проиллюстрированное многочисленными примерами на Java.
"Мир фракталов" - программы, ссылки, множество красивых картинок.
"Геометрически самоподобные фракталы" - оригинальная галерея к.ф.-м.н. Чернова Ю.К.
Фрактали (или фракталы) - галерея к.ф.-м.н. Д.Абросимова.
Список англоязычных страниц о фракталах.
Особенно рекомендую фрактальные галереи.
Gumbycat's Cyberhome - One of the best galleries that I see.
3D Strange Attractors - renderings of 3-dimensional Strange Attractors.
Don Archer's U-draw Fractals - fractal art, music, big gallery of excelent pictures.
KPT Fractal Explorer Images - DiP Gallery contains 24-bit fractals created with Kai's Power Tools.
Sekino's Fractal Gallery - includes an easy guide to plot fractals.
Spanky Fractal Database
Sprott's Fractal Gallery - gallery of fractal art, mostly produced automatically by a computer program that searches through large classes of equations for visually interesting patterns.
Virtual Space-Time Travel Machine - scientific visualization.
Webb, Sharon - fractal images, archives, galleries and "fractalscapes." Truecolor fractal images by Sharon Webb are created with the Flarium program using her own formulae.
Теория фракталов и алгоритмы________________________________________________
Теория фракталов и алгоритмы:
Фракталы в акустике - сайт об одном из наиболее существенных проявлений фракталов в природе.
Захаров Максим, "Краткое описание метода фрактального сжатия изображений".
"Введение во фракталы" и галерея аспиранта УГТУ-УПИ Шабаршина А.А.
О фракталах и алгоритмах - о построении множеств Жулиа и Мандельброта с примером на Visual Basic.
"Что такое фракталы?" - алгоритм выращивания кораллов с помощью хаоса.